高考数学18～21题题型(2014年北京高考数学理题19的简解及其背景剖析)

问题1(《北京科学》2014年第19期):椭圆Cx2 2y2=4已知。(1)计算椭圆C的偏心率.

(2)以o为原点，如果a点在椭圆c上，b点在直线y=2上，OAOB，找出直线AB和圆x2 y2=2之间的位置关系，并证明你的结论。命题组的答案和本文提供的六种解法有许多字母、冗长的公式和复杂的运算。原因是点甲坐标用来表示点乙坐标；求解直线AB方程；使用两点之间的距离公式来寻找线段AB等。以下作者提供了一种书写流畅、计算简单、思维简单的方法：

当B在(0，2)时，A坐标是(2，0)，那么直线AB方程的为x Y=2 或x-Y=-2，很明显直线AB与圆x2 y2=2相切。当B不在(0，2)时，让坐标为(a，2)(a0)。

kOB=2a,OAOB，

koa=-a2线性OA方程是y=-a2x，

从x2 2y2=4y=-a2x，x2A=8a2 2，

y2A=a24x2A=2a2a2 2，|OA|2=x2A y2A=2a2 8a2 2和|OB|2=a2 4。

设D是从点O到直线AB的距离(即，直角三角形的斜边AB上的高度OAB)。根据平面几何知识，D2=| OA | 2 | ob | 2 | ab | 21 D2=| OA | 2 | ob | 2 | OA | 2 | ob | 2

d=2=r直线AB与圆x2 y2=2相切。

可见，用椭圆方程和比例分辨函数求解A坐标的计算量并不大。如果不求而设上述解，恐怕联立方程会很复杂。事实上，这是一个误会。这取决于什么类型的方程被集合在一起，并且求解这些方程并不总是需要大量的计算量。此外，A的坐标不需要完全求解，因为只要有一点点几何知识(这是每个人都可以掌握并且在初中必须掌握的知识)，就没有必要求直线AB方程。

事实上，问题1有着广泛的背景，这可以从根和变型两个方面找到，它也发现了近年来北京高考解析几何命题的规律。问题2(人民教育a版选修4-4第15页练习6)知道椭圆的中心是o，它的OAOB轴和短轴是2a，2b(ab0)，a和b分别是椭圆上的两点，以及(2)找到AOB面积的最大值和最小值。

问题3(2009年山东科学的22个问题)，让椭圆E:X2A 22 B2=1(AB0)通过M (2，2)，N (6，1)，O是坐标的原点。(一)求椭圆方程；

()是否有圆心在原点的圆，这样圆和椭圆e的任何切线总是有两个交点a、b和OAOB.如果有，写出圆的方程式，找出|AB |的取值范围。如果没有解释的理由，已知问题4中的双曲线c:x2 a2-y2 B2=1(2009年《北京科学》的问题19)

(一)求出双曲线方程；(2)设直线l为圆Ox2 y2=2上移动点P(x0，y0)(x0y00)的切线，l和双曲线c在两个不同的点a和b相交，证明了AOB的大小是一个固定值。

问题5(2011年《北京科学》第19题)已知椭圆G: X24Y2=1，圆x2 y2=1的切线L在两点A和B处与椭圆G相交()求椭圆G的焦点坐标和偏心距；

()将|AB|表示为m的函数，求出|AB|的最大值。作者试图弄清楚命题专家是如何设计高考试题的，即试题2是如何发展成试题3、4、5和1的。一切都是问题2的结论，这是美妙的工艺，安静的运动，欣赏数学的内在美。

在问题2中，我们可能希望将椭圆的标准方程为x 2 a2 B2=1(ab0)和椭圆的直角坐标方程转化，设置为极坐标方程：(cos)2a2 (sin)2b2=1，即 2=a2b2cos 2 a2sin 2，因为OAOB让A(1，)，然后B(2， 2)，所以1 | oa | 2 1 | ob | 2=1 21 1 22=b2cos2因为OAOB，所以1 | OA | 21 | ob | 2=| AB | 2 | OA | 2 | ob | 2=1 D2如果d是从点o到边AB的距离(即Rt的斜边ab上的高度OAB)，即d=aba2 b2也是一个常数值。可以看出，当a和b分别在椭圆上移动并且OAOB、a和b是椭圆上的两个移动点x2a2 y2b2=1(ab0)时，o是椭圆的中心，并且OAOB和ODAB在点d，那么点d的轨迹方程是为x 2 y2=a2b2a 2 B2。问题3是这个结论的逆命题：是否有一个圆心在原点的圆，所以圆和椭圆E的任何切线总是有两个交点A。现在似乎有一个半径为R=11 | OA | 2 1 | OB | 2=aba2 b2的圆。因为直线AB是圆的切线，并且在圆上移动时与椭圆相交，所以线段AB会改变，其值范围正好合适。这样，难度加大，体现了“从书上来，高于书”的命题原则。

众所周知，二次曲线有一个统一的性质，在椭圆中成立的结论在双曲线通常成立。因此，问题2中的椭圆变为双曲线x2 a2-y2 B2=1(ba0 ),并且有一个类似的结论：当a和b分别在双曲线和OAOB移动时，1 | OA | 2 | 1 | ob | 2=B2-a2 B2，有一个以原点为中心、ABb2-a2为半径的圆，它总是与ab相切。