三个宇宙速度的推导(三个宇宙速度的多种推导及教学启示)
教学参考和高考都明确要求学生掌握三种宇宙速度的含义和价值，并推导出第一宇宙速度。然而，在教学过程中，笔者发现很多学生在学习了第一宇宙速度后，总是会对另外两个宇宙速度的推导提出疑问。在下文中，作者用各种方法来推导这三种宇宙速度，以期引起更多的关注。
1第一宇宙速度v1=7.9公里/秒1.1的推导方法1
当一颗卫星发射后，在地球表面附近绕地球作均匀的圆周运动，而不回落到地面，卫星的速度是宇宙第一速度v1。假设地球的质量为m，卫星的质量为m，卫星到地球中心的距离为r，这可以从圆周运动知识中得到：=(1)。近地卫星的高度一般为100公里~ 200公里。与地球半径6400公里相比，可以理解它们在地球表面附近运行。因此，地球半径可以用来表示卫星的轨道半径。将r=r=6.4的 106米代入公式(1)，v1=7.9公里/秒1.2方法2
地面附近的重力加速度为g=9.8 m/s2，重力直接提供的向心力为=mg(2)。将r=R代入公式(2): v1==7.9公里/秒1.3应用运动的合成和分解定律的推导
众所周知，以第一宇宙速度稳定运行的卫星轨道基本上与地球大圆重合。根据如图1号，在沿切线，卫星从点A到点C的运动可视为沿AB方向的均匀直线运动和沿BC方向的自由落体运动的组合运动。这是由卫星在沿切线，方向不受应力而仅在径向受重力作用这一事实决定的。AB=v1t，BC=gt2，地球半径为R。由于卫星高度可以忽略，根据几何关系，可以得到如下公式：(R gt2)2=R2 (v1t)2 (3)。图1卫星从点A移动到点c
cos==(4).(3)(4)同时：-v R=0，解决方案仍有v1==7.9公里/秒
当一颗卫星以第一宇宙速度运行时，由于其特殊的位置特征，它也被称为最小发射速度和最大轨道速度。第二宇宙速度的推导
2.1动能定理结合微积分知识，推导出从地面发射人造天体所需的最小发射速度，使其脱离地球引力，不再飞回地球，这称为第二宇宙速度。假设人造天体从地球飞向无限远的速度恰好为零，根据过程中的动能定理，W=0- mv (5)。w是对人造天体在重力作用下所做的功。因为在飞离地球的过程中所经历的空间尺度特别大，万有引力是一种可变的力。对在这个过程中的引力作用似乎不可能计算出来，但事实上，根据高中生掌握的微积分知识：
W=- dr==-，即W=- (6)
其中m是地球质量，m是卫星质量。(5)(6)当两种类型结合时：v2==11.2km千米/秒2.2使用重力势能表达式
根据上述万有引力做功的表达式，在距离地球中心距离r处获得引力势能的表达式并不困难：Ep=- (7)。当以第二宇宙速度发射人造天体时，地球表面的机械能为E1=- mv，在无穷大时，E2=0。飞行中只有重力起作用。根据机械能守恒定律，E1=E2，==11.2km千米/秒。第二宇宙速度是物体在地面上脱离地球引力的最小速度，因此第二宇宙速度也称为逃逸速度。对于发射速度大于11.2公里/秒的人造天体，对已经逃脱了地球的引力，但仍然要受到太阳的吸引，从而成为太阳系中的一颗人造行星。
3第三宇宙速度v3=16.7公里/秒的推导当思考第三宇宙速度的解时，许多学生感到困惑，觉得“老虎不能吃——”。事实上，从第二宇宙速度的解模型，我们可以知道：如何找到速度v'1需要得到一个物体的相位对是1.5亿公里以外的太阳，并仍然在太阳摆脱太阳的重力的限制；考虑到地球的旋转速度，发射速度将相应降低到v ' 2；最后，考虑到发射时地球引力的影响因素，我们需要克服地球引力做功，速度会增加到一定的速度，这就是第三宇宙速度v3。根据以上分析，这并不难：mv (- )=0 (8)。其中m=2，为1030公斤，r=1.5，为1011米，==42.2公里/秒.因为地球绕着太阳转，向心力是由万有引力提供的。替代数据的旋转速度为v' 2==29.8公里/秒。V'1和v' 2是相位对到太阳的速度。为降低发射难度，发射方向可与公转方向一致，只需沿地球轨道方向的速度增加v'3，v'3=v'1-v'2=12.4 km/s，即相位对到地球的速度(如如图2所示)。最后，考虑到地球引力的影响，当人造天体脱离地球引力时，只需要使其速度为v'3。根据机械能守恒定律，对人造天体：mv-=mv (10)。然后，通过计算第二宇宙的速度，mv-=0(11)。(10)(11)同时获得两种类型：v==16.7公里/秒.
如果地球上的一个物体想同时摆脱太阳和地球的引力束缚，它的发射速度必须大于或等于16.7公里/秒。因此，第三宇宙速度也称为逃逸速度。综上所述，在推导对三宇宙速度时，不仅要涉及物理运动的合成和分解、能量守恒定律、圆周运动定律和参考系的选择，还要用到数学微积分知识。这些规律的综合运用，必将对学生知识结构的改善和学生求知探索能力的激发大有裨益，特别是对对培养优秀学生大有裨益
黑曼巴 