柔性关节臂测量机(一种单连杆机械臂柔性关节的滑模变结构控制)
作为一种非线性控制方法，滑模变结构控制与常规控制方法的根本区别在于控制的不连续性。它使用一种特殊的滑模控制方法，迫使系统的状态变量沿着人工指定的状态空间的滑动超平面滑动到期望的点。当系统状态跨越滑动超平面时，反馈控制的结构将发生变化，迫使系统状态变量返回滑动超平面。因此，对非线性系统的滑模变结构控制对动态特性和外部环境扰动具有一定的适应性，而对中系统存在的不确定性具有很强的鲁棒性。滑模变结构控制系统的动态过程由到达阶段和滑模运动阶段组成。只要系统状态能趋近于进入滑模到达阶段，滑模运动阶段的稳定性
1单连杆柔性关节机械手模型如图1[13]。单连杆机械臂通过两个腱状线性弹簧与电机固定连接，以产生关节灵活性。电机固定在机械臂的底座上，底座的平面与水平面平行。[]表示电机的角位移或连杆偏离垂直方向的角度，[]表示挠性接头产生的偏离角度，[ ]表示连杆的实际角度。
图1单连杆柔性关节机械手模型
欧拉？拉格朗日方程，柔性关节机械手的能量方程是：[L=K-V]
中：型[k=khkl，V=Vg Vs]
中：式[KH=12JH 2]为轮毂动能；[Kl=12Jl( )2]是负载的动能。[Vg=mghcos( )]是重力势能。[Vs=12Ks2]是两个弹簧的弹性势能。中[JH]和[Jl]分别是电机和连杆的转动惯量，[m]是连杆质量，[h]是连杆质心到关节的距离。[Ks]和[g]分别是弹簧刚度和重力加速度常数。因此，拉格朗日函数是：[l=12jh2 12jl()2-mgh cos()-12ks2]
因此：[滴滴涕(？l？)=d[Jl( )]dt=Jl( )]
[？l？=mg Xin()-Ks[DDT(？)l？)=Jh Jl( )？l？=mg Xin()]
代入运动方程：[滴滴涕(？l？-？l？=0ddt(？l？-？l？=] (1)
中，型电动机的转矩[]是由施加在电枢两端的电压[u]产生的，它们之间的关系是：[=kmkgrmu-km2k2rm]
根据前面公式(1)的等式，[Jl()=mgxin()-Ks](2)
根据公式(1)的后一个等式，[JhJl()-mgxin()=](3)
将公式(2)和公式(3)组合以获得[=--KsJl mghJlsin( )]
[Jh-Ks=]选择状态变量[ [T=x1x2x3x4T]]，用[y=h(X)=x1 x3]确定机械臂末端的位置，并制作：
[X=x1x2x 3x 4t][g(X)=0mkgrmjh0-KmKgRmJhT]
[f(X，t)=x2ksjhs3-km2 kg2 rmjhs2 x4-ksjhs3 km2 kg2 rmjhs2-ksjls3 mghjlsin(x1x 3)]，则机械手的运动方程可表示为：
[X=f(X，t) g(X)uy=h(X)=x1 x3]2滑模变结构控制
以[yd]为理想输出，跟踪误差为[e=yd-y]，滑模函数定义为[s(t)=c1e c2e c3e e]
公式中[C1]，[c2]，[c3]是构成多项式[3 c32 c2 c1]赫维茨多项式的参数。选择李雅普诺夫函数[V=12s2]，然后选择[V=ss]，并且：
[s(t)=C1 ec2 ec3e(4)=C1 ec2 ec3e y(4)d-y(4)]和：
[y=x1 x3=x2 x4 y=x2 x4=-KsJlx3 mghJlsin(x1 x3)y=-KsJlx3 mghJl(x1 x3)cos(x1 x3)=-KsJlx4 mghJl(x2 x4)cos(x1 x3)y(4)=-KsJlx4 mghJl(x2 x4)cos(x1 x3)-mghJl(x2 x4)2 sin(x1 x3)=-KsJl-ksjx3 km2 kg2rmjhsx 2-KsJlx3 mghJlsin(x1 x3)-kmkgrmjlsin
因此：
[s(t)=c1e c2e c3e y(4)d-H(X)-Du]顺序：
[u(t)=1d C1 ec2 ec3 ey(4)d-h(x)SGN(s)]，其中[0]，然后：
[s(t)=c1e c2e C3 ey(4)d-h(x)-c1e c2e C3 ey(4)d-h(x)SGN(s)=SGN(s)]，然后：
因此，滑模[s(t)=0]是李雅普诺夫稳定的。
3滑模控制参数的选择滑模的李雅普诺夫稳定性[s(t)=0]意味着：
[c1e c2e c3e e0] (4)但这并不意味着[e0]。由于：
[c1ec2ec3e e=0]式(5)的特征方程为：
[3 c32 c2 c1=0] (6)根据高阶线性微分方程理论，微分方程(5)的解可以表示为[e1t]，[e2t]，[e3t]，其中[1]，[2]，[3]是方程(6)的根。因此，只要[1]、[2]和[3]的实部是负的，公式(4)就意味着[e0]。为了简单起见，我们可以选择公式(6)的所有根都是负的，或者甚至都是多重根。例如，[=-0]([00])是公式(6)的三重根，那么公式(6)可以表示为：
[03 302 302 3=0]是下面的模拟中图2显示了通过将[s(t)=e 3e e]作为滑动模式获得的输出和理想输出，并且特征方程的三重根是[=-1]。图3示出了通过将[s (t)=8e12e6e]作为滑动模式获得的输出和理想输出，并且特征方程的三重根是[=-2]；图4示出了通过将[s(t)=27e 27e 9e]作为滑动模式获得的输出和理想输出，并且特征方程的三重根是[=-3]。
图2轨迹跟踪([s(t)=e3e3ee])对比较表明，随着特征根对值的增加，输出接近理想输出的速度逐渐增加，中在接近过程中的最大偏差逐渐减小。应该指出，尽管公式(6)的根[-0]的绝对对值越大，对应于这个对的公式(5)的中[e]的收敛速度越快，并且下面的模拟结果也说明了这一点，但是用另一个[0]的模拟表明， 增加特征公式(6)的根[-0]的绝对对值不一定会加速非线性系统的输出[y]到理想输出[yd]的收敛，并且近似过程中中的最大偏差不一定会减小。
图3轨迹跟踪[s (t)=8e12e6e]
图4磁道跟踪[s(t)=27e 27e 9e]
在下面的模拟中，中[=27]，并且通过其他模拟，可以看出当[s(t)]为常数时，从[=0.4]到[=27]，输出[y]收敛到理想输出[yd]的速度逐渐加快，并且近似过程中的最大偏差逐渐减小。虽然不能得出公式(6)的根和[]与收敛逼近过程的中之间的最大偏差的一般结论，但上述事实至少可以表明，通过增加特征根对值不能改善逼近效果；特征根和[]的选择与输出接近理想输出的速度和输出接近理想输出的最大偏差有关。特征根和[]应根据实际问题的重点来选择。
4模拟便于计算，假设所有参数均为1，理想输出为：
所以：
[H(X)=x3-gsin(x1 x3)1-GCOS(x1 x3)-g(x2 x4)2 sin(x1 x3)x3-x2；][D=1；y=x1 x3y=x2 x4]
[y=x2 x4=-x3 gsin(x1 x3)；][y=-x4 g(x2 x4)cos(x1 x3)；]
[yd=SinAT；yd=AcosAtyd=-A2sinat；][yd=-A3CoSat；y(4)d=A4Sinat；e=SinAT-x1 x3；]
[e=ACOsat-x2-x4；e=-A2sinat x3-gsin(x1 x3)；][e=-A3CoSat x4-g(x2 x4)cos(x1 x3)；]
[s(t)=c1e c2e c3e；][u(t)=c1e c2e c3e y(4)d-H(X)SGN(s)；]
[g(X)=010-1T]则系统在滑模控制下的状态方程为：
[x=x2x 3-x2ux 4x 2-2x 3gsin(x1x 3)-u](7)[A=0.1]，根据特性方程
[c1 c2 c32 3=0]的三个多重根分别是[-1]，[-2]和[-3]
[s(t)=e 3e 3e][s(t)=8e 12e 6e]
[s(t)=27e 27e 9]构造滑模，用Matlab求解微分方程组(7)。输出和理想输出依次显示在如图2 ~ 4。图5是选择[s(t)=27e 27e 9]时微分方程系统(7)的解。
图5状态变量[s(t)=27e 27e 9e e]
5结论因为特征方程是：
[3 c32 c2 c1=0]的所有根都是负数，这是[p3 c3p2 c2p c1]是Hurwitz多项式的一个充分条件，所以多项式：
[(1)(2)(3)=3(12313)2(123)123]是一个赫维茨多项式。它的中[1]，[2]和[3]是任意三个正数。因此，Hurwitz多项式的选择是相当随意的，通过选择[1]、[2]和[3]可以获得更好的控制效果，如更快的收敛速度和更小的[maxte(t)]。
使用随机搜索方法[14]，对参数[1]，[2]，[3]，显然可以找到更好的解，但是计算量非常大。事实上，中和[0]的选择也与控制效果密切相关。如果[]太大，可以缩短过长的时间，加快收敛速度，但很容易导致“过冲”和增加[maxte(t)] [15]。将最优滑模跟踪控制问题转化化为一个多目标规划问题，从而可以直接得到四个待定参数[1]、[2]、[3]和[]的值，甚至可以将微分方程的中变量数从4推广到自然数[n]。[]和[(1)(2)…(n-1)=n-1(I=1n-1I)n-2…][k=1n-1k]中[1，2，…，n-1]的值被直接发现为1
黑曼巴 