奔驰出现负荷极限(多服务台中流失比例的高负荷极限的模拟仿真)

在现实生活中，人们经常会遇到多服务器排队系统排长队的现象，比如银行和医院中的排队现象，这实际上是一个高负载下的多服务器排队系统。已经有很多关于高负载下多服务器排队系统的文章。例如，惠特研究了具有多个废弃服务器的流体模型[1]，惠特给出了[G/GI/n/m]队列的扩散近似[2]。Whitt和Hal fin研究了多服务器队列的高负载极限[3]。Whitt研究了拥挤服务系统的高负荷极限，并讨论了局部高负荷极限[4]。Whitt研究了单服务器队列中丢失率的高负载极限[5]。高负荷下多服务器排队系统的仿真研究很多，如霍明并联，多服务器排队系统的仿真建模[6]，邓年华基于Matlab的多服务器排队系统的计算机仿真[5]，陈实多服务器混合排队模型的仿真[M/G/s/k] [7]。本文研究了高负荷下对客户流失的排队模型，给出了排队长度过程、流失过程和流失率的高负荷极限。同时，给出了基于Matlab编程的仿真算法进行仿真。1栋模型建筑

本文研究了[G/GI/m/K]排队模型，它是一个一般稳定的到达过程，到达率为[]，服务时间独立同分布，服从一般分布，服务台的平均服务率为[ii=1，2，m]，额外的最大等待空间容量[K]，以及先来先服务的服务规则假设到达过程和服务过程相互独立并且服务强度为[]，则有：[=1 2 …微米] (1)

设[Uk，V1，K，V2，K，…，Vm，K: K 1]为非负随机变量序列，其中[Uk]代表第[k-1]个客户和第[k]个客户之间的到达时间间隔，而[Vi，ki=1，2，…，m]代表

[Svi，k=Vi，1 Vi，2 … Vi，k；I=1，2，m] (3)和：

[Su0=Svi，0=U0=Vi，0=0] (4)相应的计数过程是：

[At=max k0:Sukt](5)[Nit=max k0:Svi，kt，t0] (6)

设[N]为叠加过程，定义为：[Nt=N1t N2t … Nmt，t0] (7)

从上面的定义中，我们可以看到[At]代表到达[0，t]的客户总数，[Nt]代表在[0，t]服务的客户总数，[Qt]是在[t]的领班，[Lt]是在[0，t]损失的客户总数。考虑上面描述的队列系统序列

[Svn，it=c-1nSvn，I，nt--1n，InTant=c-1 nNt-Nnt](9)[Nn，it=c-1nNn，int-n，int] (10)

[Nnt=c-1 Nnt-Nnt](11)[qnt=c-1n？Qnnt] (12)

[Lnt=c-1n？Lnnt] (13)，其中[n=n，1 … n，m]。

为了陈述结论，请做[？]表示按分布收敛，[DD0，，r，M1D，M1]表示右连续实函数空间，除了在[M1]拓扑下的[0，]上的0点外，其余都有左极限，[Dk=D，M1k]是[k]维[D]积空间，[ WM1]表示在[WM1]拓扑下的[M ^ 1]维[D]的积空间，[Discx]表示函数[x]的不连续点集，[D=D]表示按分布相等，以及[mY]表示复合函数。点[？0， l0: d D2]，并且在0处具有下限，满足：

[？0x=x L0x]并制作[？0，k，L0， uk: d D3]，下限为0，上限为[k]，满足[8]:

[？0，kx=x L0x-Ukx]，其中[L0x]是下限校正函数；[Uxx]是上限校正函数。

2队列的随机过程极限2.1队列长度过程和损失过程的随机过程极限

定理1(队列长度过程和搅动过程的高负载极限)考虑到上述[G/GI/m/K]的队列模型序列，假设系统的初始状态为空，在[Dm 1，WM1]:[孙，Svn，1，Svn，2，…，Svn，M？Su，Sv1，Sv2，…，Svm] (14)

让[cn]，[ncn]，[n，I ,I，0i]有：[n=n？n-ncn -，-](15)[Kcnnk，0

假设：[PSu0=0=PSvi0=1] (17)

[PDiscSvi？ie？DiscSvj？je=？=1] (18)[PDiscSvi？ie？DiscSu=？=1] (19)

有：[Qn，Ln？问，L=？0，ki=1mSvi-Su-e，Uki=1mSvi-Su-e] (20)

2.2探究损失率，因为[Lt]代表在[[0，t]]中损失的客户总数，如果[ t]是在[[0，t]]中的损失率，那么[ t=lt最大值1，At]，其对应的随机过程特征是[ nt=n nntcn]

定理2:在定理1的条件下，如果在[D0，，r，M1]: [ n？](21)

其中[ t=ltt]，[t0]，假设当[t0]，[PtDisdA=0]时，对在所有[t0]中，当[n]: [ncn NNT？t](22)

还有：[ NNT n- n？t](23)

其中[]是公式(15)中的极限，如果[t] [ t？]，然后是：[ncn NNT？] (24)

其中[]是某一损失率。3模拟仿真

3.1算法设计为了便于排队系统的信息记录和仿真算法的研究，本文构造了这样一个状态矩阵a作为[8s]矩阵，其中[s]作为到达[0，t]的第一个[s]客户，矩阵的每一列都存储了客户的所有信息和客户到达时系统的状态，所以以[i]列为例，矩阵的每一行

在算法中：[r]表示平均到达率；[]表示平均服务率；[k]是等待空间的容量；[m]是服务台的数量；[损失]是损失率。根据到达过程中生成的客户间隔到达时间，可以得到每个客户的到达时间，并初始化化矩阵A的第一行，根据服务时间的分布生成客户的服务时间。损失率的计算采用第2节中的定义公式。表1状态矩阵

由于第一[m]个客户到达时不需要排队，因此可以初始化化矩阵A的第一[m]列。当当第的[IIM]客户到达系统时，他们会遇到三种情况：情况1是当客户到达时，服务台空闲，客户不需要等待直接接收服务；在案例2中，当客户到达时，没有空闲的服务台，客户在进入；排队等候。在案例3中，当客户到达时，等候空间已满，客户被阻止并丢失。这样，通过对顾客到达对，的分析，得到了相应的量化指标，而初始的化矩阵是3.2 算例分析

现在给算例分析，以[M/M/m/K]为例：考虑一个[M/M/m/K]队列的模型序列，在第[n]个模型中：让特征常数[cn=n]，和顾客的平均到达率[r=m？1 1n]，每个服务台的平均服务率与[u=1]相同，则服务强度为[=rm]，因此等待空间容量为[k=30]，[s=n]，即考虑在[0，t]内到达的前[n]个客户。

3 . 2 . 1对基本客户信息分析分析了到达对的前100名客户(m=100)，如3.2.1所示。从图1的部分(a)，可以获得当顾客的出发时间与到达时间相同时，该顾客是被阻挡和丢失的顾客；从(c)部分可以看出，当顾客的等待时间为0时，主要有两种情况：顾客到达时，有空闲的服务台顾客直接接受服务；顾客到达的等待空间已满，顾客因被阻挡而迷失方向；(d)、(e)和(f)部分分别表示系统领导、流失客户数量和客户到达时的损失率。