数值分析方法(数值分析为什么那么难)

本文是关于如何撰写数值分析毕业论文和数学建模、数值分析与实践本科论文的范文。

文摘:数值分析是一门理论与实践紧密结合的课程。在教学实践过程中，不仅要注重讲解课程内容的基本概念、算法思想和解题方法，还要通过实际问题讲解这些方法的应用。根据课程特点，阐述了数学建模思想融入数值分析的意义和改革内容，设计了一个结合曲线拟合和插值的数学建模实践教学案例。数值分析；教学改革

数学建模思想融入数值分析的意义

随着现代科学技术的进步，特别是计算机的出现和普及，数学的应用不再局限于物理、建筑设计和工程技术等传统领域。它已经迅速渗透到一些交叉学科和新的研究领域，提出了大量有待解决的实际研究课题。要解决这些问题，建立合适的数学模型是非常关键的一步，而实际问题转化为相应的数学问题。然后，为数学问题建立了相应的数值方法[1]。数学模型是为现实世界中的一个特定对象建立的。为了特定的目的，根据特定的内在规律进行必要的简化和假设，并应用适当的数学符号、定理和关系表达式。我们得到了一个数学结构，它总结了问题的数量关系和空间形式[2]。数学建模是在经过抽象、简化、假设和变量引入的过程后，利用所学知识来分析和解决问题。实际问题以数学的方式表达，并结合各种数值计算方法和数学软件进行数值求解。复旦大学李大潜院士指出，要坚持方向，树立信心，努力把数学建模的思想融入数学主干课程，特别是本科数学主干课程中去。

数值分析是高等院校数学专业信息与计算科学、数学与应用数学的一门专业课，也是许多工科专业学生的一门公共基础课[4]。数值分析也是一门知识丰富、研究方法深刻、理论体系完善、与计算机紧密结合的课程。它具有很强的社会实用价值。将数学建模思想融入数值分析课堂教学的主要目的是让学生了解本课程的目的以及如何使用本课程。要解决具体的实际问题，首先要建立适当的数学模型，把实际问题的解简化为相应的数学问题的解，然后为总结出来的数学问题建立相应的数值方法[5]。为了更好地激发学生的学习兴趣和潜能，提高课堂教学效果，可以引入一些实际案例。通过建立适当的数学模型，可以了解实际情况。

问题的解决归结为数学模型的求解，然后为数学模型设计相应的数值方法。这就可以实现在解决实际问题的过程中推导出算法，在算法分析中引入理论知识，使知识的引入就像“随风潜入黑夜”，而知识的应用就像“润物细无声”的[6)。同时，数值分析中的许多知识点经常被用于一些数学模型的求解。如拉格朗日插值、数据拟合、最小二乘法等。因此，将数学建模思想合理地融入到数值分析的课堂教学中是必要和可行的，也具有重要的理论价值和实践意义。

2数学建模思想融入数值分析的改革

2.1丰富教学方法，改变传统教学方法

在以前的传统教学方法中，整个班级都是由老师连续授课，学生没有更多的时间和空间去思考，只能被动地接受。同时，当学生第一次接触数值分析时，他们通常会觉得这门课程的难度相对较高，很难跟上教师的教学节奏和思路。传统的填鸭式教学法教学效果不理想。这也会导致学生学习和兴趣的下降。由于数值分析过程中涉及的许多问题都是从实际应用中提取出来，然后通过数学理论进行推导，然后提出具体的解决方案。因此，对于许多知识点的讲解，尽量从实例中提出问题，引导学生思考如何利用数学知识建立问题的解决方案。然后给出了相应的数学理论。例如，在现代机械工业中，计算机程序用于控制机械零件的加工。根据设计，可以给出零件轮廓曲线的一些类型值点。为了控制进给方向和每一步的步数，在加工光滑零件之前，必须计算零件轮廓曲线其他点的函数值。这涉及到数值分析中的一个核心概念，即寻找插值函数的问题。此外，人口增长模型是常微分方程初值问题以及卫星轨道和钟摆运动的简单例子。在课堂上讲解知识点时，老师恰当地抛出一些问题，给学生留出足够的时间思考。还可以进行一些互动环节，让学生练习和解释例子，这样可以吸引学生积极参与教学活动，从而避免老师单独唱歌的情况。

2.2结合数学建模，注意平时的实验课程

数值分析课程的内容有着非常广泛的物理背景。在教学过程中，教师可以从实际背景出发，将其与数学建模有机结合，通过实际案例使模糊的概念和定理变得生动。数学建模的课题基本上是一些与现实生活密切相关的问题，具有很强的实际应用性和现实意义。在通常的数值分析实验课中，教师可以从一些实际问题入手。引导学生根据自己的知识建立数学模型，然后用数值计算方法对模型进行数值求解，并使用计算机语言编程获得数值解。在整个学习过程中，学生可以实现理论与实践的完美结合，掌握数学知识和数值方法的实际应用。这不仅培养了学生的独立思考能力，也提高了他们的实践能力。同时，计算机实验也是数值分析区别于其他数学课程的显著特点之一。其主要目的是培养学生将课堂上所学的数值方法理论应用于实例，培养学生的数值计算实践能力和计算机编程能力。这也是一个消化课堂上所学理论知识的过程。对于同一个问题，学生可以尝试用不同的方法解决并比较结果。为了检验各种数值方法的优缺点，在实验的具体计算过程中，我们可以通过绘图、列表等直观生动的方法加深对课堂理论知识的理解。

3.数学建模思想融入数值分析的实践

3.1曲线拟合情况

为了从宏观角度控制人口增长，有必要掌握人口变化的一些规律，并提前做出更准确的分析和预测。众所周知，美国从1800年到1890年的人口统计数据如表1所示。尝试建立一个人口增长模型来分析和预测2000年美国的人口。

英国人口学家马尔萨斯在1798年提出了人口指数增长模型，即著名的马尔萨斯模型。该模型假设:

(1)假设生育率和死亡率在社会稳定的前提下相对稳定；(2)假设只考虑国内移徙，而忽略国际移徙；(3)忽视突发灾难性疾病和战争对人口的影响；(4)假设国家人口政策基本稳定。模型建立:记住x (t)是t时刻的总体，x0是t=0时刻的总体。由于相对较大的人口，x (t)可以近似地认为是时间t的连续可微函数。根据假设，如果人口增长率r是常数，人口增长率δt是

X (tδt)-x(t)=r x(t)δt，因此，x(t)满足微分方程。

dxdt=rx，x(0)=x0。

模型解:x (t)=x0ert可通过求解微分方程得到，其中参数r和x0可利用表1中的数据进行估计，并可分别得到上述公式两边的对数

Y=rt b，y=lnx，b=lnx0。用最小二乘法拟合1900年至1990年的数据，并用MATLAB进行计算

r=0.2775，b=1.7114。

所以拟合函数是

因此，2000年美国人口预计为142420万。

实际人口数据和计算人口数据见表2。图1示出了拟合图像。

将拟合曲线与数据散点图(图1)进行比较，我们可以发现拟合函数与19世纪美国的人口增长是一致的。然而，美国2000年人口预测与实际人口2.814亿之间的误差较大，说明指数增长模型在短期内可以获得较好的人口预测结果，但不适用于长期人口增长预测。

通过对该案例的分析，学生可以更直观地理解最小二乘曲线拟合原理，进一步加深对该知识点的掌握，为解决数模竞赛中的类似问题铺平道路。

3.2插值情况

有一家年产23万吨的钢铁厂，现在需要统计生产成本。然而，由于工厂的各种数据部分丢失，无法进行统计。在这种情况下，统计部门收集了五家在人员、设备和生产能力方面与工厂非常接近的钢铁厂的数据，如表3所示。

如何更准确地估计五家知名钢厂的生产成本？

我们可以用拉格朗日插值来构造插值多项式来解决这个问题。

该模型假设钢厂的人员、设备和生产能力与表3中的五家钢厂几乎相同，即产量和生产成本之间的关系与五家钢厂相似。建立模型:如果和易分别代表钢厂的产量和生产成本，则可以得到插值节点信息，如表4所示。

二次拉格朗日插值多项式可以用5个节点来构造

P4(x)=σ4k=0ylk(x)，

其间

lk(x)=(x-x0)…( x-xk-1)(x-xk+1)…( x-x4)(xk-x0)…( xk-xk-1)(xk-xk+1)…( xk-x4)，k=0，1，…，4，

它是拉格朗日插值基函数，满足

lk(xj)=1，j=k，{0，j≠ k，j，k=0，1，…，4。

那么四次拉格朗日插值多项式满足P4 (Xi)=yi，I=0，1，4。模型求解:工厂的生产成本可以通过MATLAB计算如下

P4(23)=σ4k=0ylk(23)=342(万元)。

图2是四次拉格朗日插值多项式的图像。

通过本案例的学习，学生可以加深对拉格朗日插值多项式原理及其应用的理解，提高解决实际问题的实践能力。

结论

将数学建模思想融入到数值分析课程的教学中是非常必要和有益的改革尝试。教学实践中的具体操作要求教师不断改进和优化，选择与数值分析知识点紧密结合的教学案例，运用适当的教学方法和手段，使学生更加重视课程的理论学习，充分发挥主观能动性。更好地运用相关数值方法解决实际问题，不仅可以突出课程实际应用的意义，培养学生的创新研究能力，提高学生的数学建模水平，还可以降低理论知识的抽象和理解难度，显著提高教学质量，取得事半功倍的教学效果。

数值分析论文参考资料:

综上所述，以上是数值分析硕士、学士学位论文题目写作的模型论文和参考资料，也是数学建模、数值分析及相关数值分析实践论文的开题报告。