数学建模重要吗(数学建模有什么用)

时间：2020-04-29 07:29:35 作者：黑曼巴分类：范文大全浏览：109

《数学模型数学建模模型思想》

本文是关于数学建模的毕业论文的格式模型，以及关于数学建模和数学模型与思想的毕业论文的格式模型。

赵世言于然

(首都师范大学初等教育学院，北京100048)

[摘要]模型思维是重要的数学思维之一，《数学课程标准》明确指出，学生应该初步形成模型思维。由于小学数学知识和小学生解决问题能力的限制，学生很难有机会体验完整而严谨的数学建模过程。这是在小学渗透榜样观念的难点。在明确数学模型、数学建模和模型思想的基础上，介绍了一种简化的数学建模全过程。以煎饼问题、鸡兔笼问题和植树问题为例，说明如何让学生体验简化数学建模的全过程，并在课堂上逐步渗透模型思想。它引导学生利用已有的模型解决实际问题，加深他们对数学模型的理解。

[关键词]数学模型；数学建模；模范思想

[中文图分类号]G 623.5[文件标志代码]A[文编号]1002-1477(2018)08-0031-06

[收货日期] 2018-01-28

[基金项目]国家自然科学基金(11401399)资助。

作者简介]赵世炎(1981-)，男，河北省蔚县人，博士，副教授；于然(1994-)，女，河北唐山人，硕士研究生。

R.库兰特和罗宾在《什么是数学》中指出:“毫无疑问，数学的所有发展或多或少都是基于心理学上的现实。然而，一旦理论出现在实际需要中，它将不可避免地赋予自己发展和超越直接和实际应用的局限性的力量。”[1]这种从应用科学到理论科学的发展趋势。它是越来越受到重视的典型思想的体现。模型思维不仅体现在数学本身，而且广泛应用于高中物理、化学、生物等学科。由此可见，模型思维在理科学生的发展中起着关键作用。这也是我们必须在小学渗透榜样思维的一个重要原因。由于小学数学知识和小学生问题解决能力的限制，学生很难经历一个完整、严谨的数学建模过程，这是在小学渗透模型思想的难点。因此，如何将模型思想渗透到小学数学的教学内容中，一直是小学教育中一个值得探讨的基本问题。

一、相关概念的定义

所谓数学模型，是指根据特定的研究目的，用形式数学语言[1]抽象概括地表示研究对象的主要特征和关系而形成的数学结构。数学模型分为广义和狭义。从狭义上讲，在高等数学中，我们可以根据数学的不同分支对数学模型进行分类。此时，数学模型可分为规划模型、图论、优化模型、概率模型、常微分方程等。事实上，在义务教育阶段很难对数学模型进行分类。从广义上说，数字、方程和空间几何可以被视为数学模型[2]。然而，正如相关文献所指出的，我们应该避免“泛模型化”的倾向，避免将所有知识都视为数学模型。因此，在小学阶段，对数学模型概念的合理解释是，根据现有的实际问题，代数表达式，关系，方程，函数，不等式，以及各种用字母，数字和其他数学符号建立的图表都是数学模型[3]，也就是说，我们所说的数学模型与实际问题密切相关。

所谓数学建模是一个数学活动过程，在这个过程中，通过建立模型来解决问题。这个过程的步骤可以用图1所示的流程图来表示。最关键也是最核心的一步是将实际问题抽象成一个数学模型。

模型思想的建立是学生理解和理解数学与外界世界联系的基本途径

美国数学家哈尔莫斯指出:“学习数学的唯一方法就是做数学。”事实上，只有让学生体验数学建模的全过程，他们才能更好地渗透模型思想。然而，在小学阶段，学生很难有机会体验完整而严谨的数学建模过程，这是在小学阶段渗透模型思想的难点。

基于以上分析，对于小学生建模思想的渗透，我们采取最重要的一步，即“抽象成数学模型”，作为起点，让学生经历“简化的数学建模全过程”。这一过程可分为以下四个环节:基本假设→符号解释→模型建立→模型求解。

对于小学生来说，基本假设是理解题目给出的基本条件。符号解释是指从主题条件中抽象出一些字母或几何元素来代替基本假设；模型建立是指这些符号之间关系的建立。模型求解是指根据已建立的模型进行求解，包括求解方程、利用几何特征、计算、逻辑推理等。

二、通过数学建模过程感知模型思想

在小学阶段，我们不要求学生学习数学建模，而是让学生感知模型思想，感知模型思想的最佳方式是让他们经历“简化数学建模的全过程”。在小学数学教学过程中，尤其是在学会解方程之后，“旅行问题”和“工程问题”是渗透模型思想的好材料。事实上，我们可以进一步挖掘教材，找到合适的教学内容。特别是在解决问题的过程中，有意识地培养学生的模型思维。在这里，我们将列举三个“煎饼问题”、“鸡和兔子在同一个笼子里的问题”和“植树问题”的例子，给出渗透模型思维的教学建议。

1.“煎饼问题”

以义务教育课程标准实验教科书《数学》(四年级第一册)第105页的“煎饼问题”为例:一次只能烤两面煎饼中的一面，两面都必须烤3分钟。爸爸、妈妈和我每人都有一个煎饼。我们怎样才能尽快吃薄饼？以下是教师常用的教学过程:

(1)探索翻动两块蛋糕的最佳方法。结论:如果你想尽快完成翻转蛋糕，你不能把锅倒空，同时翻转两个蛋糕会节省更多的时间。

(2)探索烤三块蛋糕的最佳方法。结论:为了节省最多的时间，锅里一定要有两块蛋糕。

(3)探索规律。首先，探索最省时的偶数蛋糕翻转方法；结论:两人一组烘烤偶数蛋糕最省时。二是探索最省时的烤五块蛋糕的方法。结论:五块蛋糕可以两人一组烘烤，其余三块蛋糕可以“省时”一组烘烤。第三是探索最省时的翻动7、9、15、100块蛋糕的方法。

(4)总结规则。引导学生发现煎饼烘烤的最短时间是煎饼的数量乘以煎饼烘烤的时间(煎饼的数量乘以煎饼烘烤的时间等于煎饼烘烤的最短时间)。

在上述的教学环节中，老师首先要求学生探索两块蛋糕的最佳翻转方法，并初步渗透了最优化思想在解题中的应用，形成了寻找问题最优解的意识，从而为探索三块蛋糕的最佳翻转方法奠定了基础。这一课的关键是找到烤三块蛋糕的最佳方法，为以后的学习打下基础。通过独立思考、小组合作和比较分析，该法的研究逐渐探索出烘焙多种糕点的最佳方法。学生的思维能力已经从操作学习工具发展到摆脱学习工具，从行动思维发展到抽象思维。

然而，这种教学方法仍然没有将建立模型的过程与求解模型的过程分开。在探究的过程中，问题的解决总是建立在现实生活的基础上，而带有数学符号的数学模型不是从实际问题中抽象出来的，它是一个复杂的问题

事实上，从高等数学的角度来看，“煎饼问题”是一个动态规划问题。虽然没有固定的模型，但我们试图将“煎饼问题”中的所有元素抽象成“几何元素”。根据上述四个环节，我们建立了“煎饼问题”的数学模型(见表1 ),展示了简化数学建模的全过程。

不难看出，在上述数学建模的整个过程中，学生最难将“煎饼问题”中的所有元素抽象成“几何元素”。为了克服这一点，学生可以在翻动一个煎饼时直接展示数学建模的全过程，并让学生在翻动两三个煎饼时自己探索。这样，学生们亲身体验了简化数学建模的整个过程。此外，学生在连接时不能考虑具体的煎饼过程，因此他们可以进一步感知模型思想的最重要的特征，即模型。

事实上，上述模型是在小学阶段显示的。以义务教育课程标准实验教科书《数学》(六年级第二册)第104页的“七座桥”问题为例:在18世纪，在东普鲁士的哥尼斯堡市，有一条河穿过，河上有两个小岛，有七座桥把两个岛(甲、乙)和河岸(丙、丁)连接起来(如图2所示)。有些人问了一个问题:一个行人怎么能一次走过七座桥而不重复或遗漏呢？后来，伟大的数学家欧拉用“点”和“线段”代替了这个问题的相关元素，建立了一个数学模型。教师在讲授这一问题时，有必要将其与“煎饼问题”结合起来，加深学生对这一模式的理解。

2.“鸡和兔子在同一个笼子里”的问题

以义务教育课程标准实验教科书《数学》(四年级第二册)第103页的“鸡和兔子在同一个笼子里”问题为例:大约1500年前，中国古代数学名著《孙子算经》中记载了一个有趣的数学问题——“鸡和兔子在同一个笼子里”:今天在同一个笼子里有野鸡和兔子，顶部有35个头，底部有94英尺。问野鸡和兔子他们各自的几何形状是什么？对于四年级的学生来说，因为他们没有学习“字母代表数字”和“简单方程”等内容，所以他们不能通过建立方程来解决问题。老师主要介绍“列表法”和“假设法”。从广泛的角度来看，这些方法也可以通过使用数学模型来解决，但是这些方法没有渗透模型的思想。幸运的是，类似的问题出现在五年级第一卷的“实际问题和解方程”练习中(图3)。

在小学教科书中，让学生经历数学建模整个过程的材料是方程模型。因此，通过实际情况→分析已知和未知量、找出等价关系→建立代数方程模型→模型求解→验证→解释实际问题的过程，建立方程模型来解决问题(见表2)。

完成以上解释后，老师应立即让学生用同样的思维，独立探究，解决经典的“鸡和兔子在同一个笼子里”的问题。这样，学生可以亲身体验完整的数学建模过程，同时，学生可以在解决问题的过程中感受模型的思想。

“植树问题”

小学数学课程中的“植树问题”通常表述如下:学生在一条20米长的小路的一边种树，每隔5米种一棵树，两端各种两棵。总共要种多少棵树？(图4)

“植树问题”的关键在于如何理解“树数”和“间隔数”的关系。学生认为“距离/间隔长度等于树的数量”。事实上，这种关系在不同的条件下可能是无效的。

一般来说，植树问题是从两端植树开始研究的。为了更好地抽象“点与段”之间的对应关系，建议以“一端植树”为起点(如图5所示)，将“树数”视为“点数”，将“树间距数”视为“段数”。这时，恰好有一个“点数等于线段数”的模型。这可以减少

在此基础上，进行了进一步的探索和优化。如果“两端植树”意味着在一端植树的模型中增加一棵树，“树的数量等于1的间隔”；如果“两端不植树”，即从一端种植的模型中减去一端的一棵树，则“树的数量等于区间数-1”；如果“循环植树”是指将一端的线段连接成一个圆，那么“树的数量等于间隔的数量”的数学模型将保持不变。

在义务教育阶段，模型思维的渗透至关重要，这就要求教师在教学过程中结合学生的认知水平，引导学生经历从浅入深的数学建模全过程，逐步完成从字母表征到建立简单数学模型的过渡，为中学数学学习做好准备。

学生模型意识的培养和建模方法的指导应因材施教，并根据具体内容和等级制定不同层次的要求。小学生的认知能力相对较弱，应结合日常实例和日常教学，对学生进行榜样意识和榜样意识的渗透和指导。这样做的目的是在小学数学教学过程中渗透模型思维，帮助学生通过具有模型功能的模型载体实现思维中的数学抽象，从而为后续学习提供数学思维的基础支持。

第三，通过应用数学模型来巩固模型思想

如果把“从实际情况到数学模型”的过程称为建模的过程，那么引导学生进一步体验数学模型应用到更广泛的实际情况的过程可以称为“反建模”的过程[4)。从某种意义上说，模型思维的应用是一个“反建模”的过程，[4)，也可以说是一个问题的解决延伸到一类问题的解决。

1.“煎饼问题”的应用

在现实生活中，不可能像“煎饼问题”中的方法那样烤煎饼。然而，类似“煎饼问题”的情况经常发生。例如，人民教育版数学教材四年级第107页习题中的第二个问题:东东、晶晶和宫鸿学生需要测量他们的身高和视力。每次考试需要3分钟。身高和视力只有一个医生。他们花多长时间完成这些考试？

图6中“煎饼问题”的应用使用了前一部分中的相同模型，将主题中的相关元素抽象为用于建模的“几何元素”。具体来说，每个人需要参与的两个检查被视为两个不同的点，连接线表示两个人同时进行检查。最短的前提是确保两个人必须同时进行检查，并且每个检查都没有空位(图6)。

最后，我们得到了最节省的9分钟时间。具体方案是:第一步，东东的身高测量和晶晶的视力测量同时进行；第二步，晶晶的身高测量和宫鸿的视力测量同时进行。第三步是同时测量宫鸿的身高和东东的视力。

2.“鸡兔同笼”的应用

“鸡兔同笼”问题中“鸡数×每只鸡足数×兔子数×每只兔足数等于总足数”的等价关系是一个数学模型，即实际情况中的已知量和未知量通过方程联系起来，未知量通过已知量计算出来。

日本的“海龟和鹤算”问题也是从中国的“鸡和兔子在同一个笼子里”问题演变而来的。在中国古代，类似于“鸡和兔在同一个笼子里”的数量关系问题经常发生。例如，明代算盘专家程大伟在《《算法统宗》》中有一首诗，题为:“一百个馒头，一百个和尚，三个大和尚，三个小和尚，几个小和尚，[5”？这些都是“鸡和兔子在同一个笼子里”问题的实际应用，在此不再详细解释。

学生们认为这种问题可以用数学公式的方法完全解决。稍微休息一下

类似的问题很常见。例如，如果你想在北京地铁2号线上设置车站，我们知道地铁2号线的轨道可以近似地看作一个圆，所以有“站数等于区间数”，这正好对应于植树问题中的“循环植树”模型。

此外，“植树问题”的数量关系所包含的思维方法也有利于思考和理解现实生活中的数学知识。例如，在国庆游行期间，有350人步行(不包括领队)。根据《队列条令》的规定，每排有14个队，每队25人。根据规定，排队人员之间的距离(从前脚跟到后脚趾)通常约为75厘米。广场有多长？解决这一问题的思路类似于“植树问题”，即把排队人员视为“点”，排队人员之间的距离视为“间隔”，方阵的长度是排队人员之间的距离75与方阵的行数14减1的乘积，即75×14-1等于975(cm)。

就“植树问题”而言，它可以扩展到相应的一类问题，如计算时间问题、锯木头问题、爬楼梯问题等。同样的一点是，在这些问题中，点和区间之间存在对应关系，可以建立“点-段”模型。如果教师在教学过程中设置相应的练习进行练习和巩固，就可以达到举一反三的教学效果，培养学生通过现象揭示本质的能力，实现模型思想的应用。

学习数学的意义在于能够对现实生活中的实际问题提出有效的解决方案，用数学模型解决实际问题，让学生理解新问题，吸收新知识，拓展新认知，在实际应用中构建自己的知识理论体系，从而形成积极自觉的数学建模意识和思想。这不仅是学生真正掌握数学知识的具体体现。它也是学生实现榜样的思想价值的重要环节。数学模型来自并回到情境。它们需要在真实的生活背景中被构建和提炼。它们需要在真实情况下进行测试和验证。它们应该广泛应用于生活，解决生活中的实际问题。总之，在数学教学中融入真实情境，引导学生完成建模过程，构建数学模型，不仅可以调动学生在数学活动中的原始体验，还可以升华学生对数学模型的理解，促进学生在更高层次上认识模型思想和数学建模的价值和魅力。

[参考资料]

[1]R·库兰特，H·罗宾。什么是数学[·M]。上海:复旦大学出版社，2012。

[2]张劲松。数学模型与数学教学[。课程、教科书和方法，2008年，28 (3): 42-47。

[3]史宁中。解读《义务教育数学课程标准》(2011年版)[M。北京:北京师范大学出版社，2011: 106。

[4]高树柱。让学生体验“植树问题”逆建模的过程[。小学教学月刊(数学)，2017 (10): 4-6。

[5]张晓亮。中国古代小学数学研究[。上海:华东师范大学，2008。

[编辑:陈雪涛]

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